排列组合中比较难讲清楚的题型

  • 2012-04-20
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最近上排列组合,学生刚刚接触到这块内容的时候,觉得很难理清思路,一下子排列,一下子组合不需要排列。需要对题目及时应对,到底是用A还是用C来表示。自己在上课过程中也觉得定序问题和等分问题都感觉难以向学生解释。经过反复推敲,跟学生讨论,也终于能让学生理清思路了。

题型一:重排问题求幂

E.G1:把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法?

解析:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法,把第二名实习生分配到车间也有7种分法,依此类推,由分步计

数原理共有7^6种不同的排法。
小结:一般地n不同的元素没有限制地安排在m位置上的排列数为m^n
归纳出一般结论后再给学生做题目,让学生感受这种题型的描述还有解答过程。
E.G2:
(1)五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,报名方法的种数为多少?
5名学生中任一名均可报其中的任一项,因此每个学生都有4种报名方法,5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 4^5种
(2)又他们争夺这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少种?

每个项目只有一个冠军,每一名学生都可能获得其中的一项获军,因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×5×5×5= 5^4种
E.G3:三个比赛项目,六人报名参加。

1)每人参加一项有多少种不同的方法?3^6
2)每项1人,且每人至多参加一项,有多少种不同的方法?A (4,6)【该符号表示从6个不同元素中选4个按一定顺序排列】
3)每项1人,每人参加的项数不限,有多少种不同的方法?6^3
E.G1 每个实习生只能去1个车间,以人作为分步标准;E.G2 (1)中每个学生报1项,以人作为分步标准(2)中每个项目只有1个冠军,以项目作为分步标准;E.G3(1)没人参加1项,以人作为分类标准  (2)每人至多参加1项,说明有人参加,有人不参加。每项1人,就是6个人中只有3个人参加;(3)每项1人,以项目作为分类标准。
题型二:定序问题除阶乘法、空位法、插入法
最难理解的是除阶乘法。
E.G.4 有4个男生和3个女生排成一排
(1)若甲必须在乙的右边(可以相邻,也可以不相邻),有多少种站法?
7个人全排列是7!,因为剩余5个人如果排好了,甲乙本身有2!种排法,符合题意的只有1种,占了1/2!,所以结果是7!/2!
(2)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变;
7个人全排列是7!,因为剩余4个人如果排好了,甲乙丙三人有3!种排法,符合题意的只有1种,占了1/3!,所以结果是7!/3!
除阶乘法:对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。
空位法:设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A(4,7)种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有A(4,7)种方法。
插入法:先排甲乙丙三个人,共有1种排法,把其余4四人依次插入共有4*5*6*7方法
题型三:等分与不等分问题
E.G5.6本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法;

(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;C(2,6)*C(2,4)*C(2,2)
(2)分成三堆,每堆两本;
分三步取书得C(2,6)*C(2,4)*C(2,2)种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则C(2,6)*C(2,4)*C(2,2)中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A(3,3)种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有C(2,6)*C(2,4)*C(2,2)/A(3,3)种分法。
如果出现2个平均分配,除以A2/2
如:将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法?C(5,13)*C(4,8)*C(4,4)/A(2,2)
(3)分成三份,一份1本,一份2本,一份3本;C(1,6)*C(2,5)*C(3,3)或写成C(3,6)*C(2,3)*C(1,1)
(4)分给甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本;C(1,6)*C(2,5)*C(3,3)*A(3,3)或写成C(3,6)*C(2,3)*C(1,1)*A(3,3)
(5)分成3份,一份4本,其他两份各1本;C(1,6)*C(1,5)*C(4,4)/A(2,2)或写成C(4,6)*C(1,2)*C(1,1)/A(2,2)
(6)分给甲、乙、丙三人,一人4本,另外两人各1本;[C(1,6)*C(1,5)*C(4,4)/A(2,2)]*A(3,3)或写成[C(4,6)*C(1,2)*C(1,1)/A(2,2)]*A(3,3)(7)分给甲、乙、丙3人,每人至少一本;(1)(4)(6)的结果进行相加
(8)分给5个人,每人至少一本;法一:分成5份(2,1,1,1,1) 法二:从6本中选2本捆绑在一起,再全排列 C(2,6)*A(4,4)
(9)6本相同的书,分给甲乙丙三人,每人至少一本。
法一:隔板法,因为6本书没有差别,把它们排成一排。相邻书之间有5个空隙。在5个空档中选2个位置插个隔板,可把书分成3份,对应地分给3个人,每一种插板方法对应一种分法共有C(2,5)种分法。
法二:分类讨论,共有三种分法,第一类2,2,2   只有1种分法;第二类1,2,3  有A(3,3)=6种分法;第三类1,1,4  有A(3,1)种分法

评论

  • 蚂蚱回复

    郁闷啊,数学忘光光,真是白读了几十年书。

    • 媛诺诺回复

      其实这些学了也没什么用,为了应付高考

  • 啊偶回复

    记得上高中自己最容易错的就是排列组合算概率

    • 媛诺诺回复

      哈,都过去了,记着干嘛

  • 洋洋回复

    用这个算算彩票开奖号码。。。

  • dobila回复

    哥上学的时候数理逻辑还是学的挺好的,哈哈。 😀

  • keene回复

    这块的知识多少有那么一丁点用,回想起来感觉最没用的就是log什么的。。。也已经忘的干干净净了 ❓

  • zylew回复

    哈哈,高中数学老师,鉴定完毕

    • 媛诺诺回复

      正解

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